中学２年生数学「証明」解き方のコツ！

さて、昨日に引き続き証明のコツの続き。

実際に問題を解きながらお話しします。

ちなみに、この問題はテストによく出題される問題なので、必ずできるようにしておきましょう。

問題

▱ABCDで、上の図のように、対角線の交点Oを通る直線をひき、2辺AB、CDとの交点を、それぞれP、Qとします。このとき、OP＝OQとなることを証明しなさい。

仮定と結論を図に書き込もう

まず始めに、「～ならば」にあたる仮定、そして「～である」の結論を図に書き込みます。

この問題の場合、「～ならば」という部分はないのですが、平行四辺形ということ時点で、対角線はそれぞれの中点で交わっています。

ですから、

AO=CO、BO=DO

が仮定になり、これを図に書きます。

結論はOP＝OQなので、仮定と区別をつけるために赤でしるしを入れます。

図にしるしを書き入れながら証明の段取りを考えていこう

結論に必要な三角形を探そう

次に、結論を導くために必要な三角形を探していきます。

この場合、結論はOP=OQなので、この２辺が含まれた三角形を探します。

△APOと△CQO　もしくは　△BPOと△DQO

ですね。

この三角形の合同を証明できる情報をできる限り探そう

この三角形の合同を証明するために、情報を探していきしるしをつけます。

見た感じが等しそうだからここ、なんてしてはダメですよ。

時々いるんです、何の根拠もないのに等しいと書く人が。

四角形ABCDが平行四辺形なので、AB//DCより、

∠PAO=∠QCO

対頂角は等しいので、

∠AOP=∠COQ

これで図に書き入れる作業は終了。

ここまでくればあとは図に書き入れた通りを書けばよいので簡単です。

証明していこう

さて、ここからはパターンを覚えておきます。

（証明）　△～と△～で、

～だから　　　　＝　　　　・・・①

～だから　　　　＝　　　　・・・②

～だから　　　　＝　　　　・・・③

①、②、③より、～（合同条件）ので、

　　　　　　△～＝△～

そして最後に大切なのがここ！

この問題では、三角形の合同を証明する問題ではなく、辺が等しいことを証明しなくてはならないので、

合同な図形では、対応する辺は等しいので

このセリフはとっても大事、覚えましょうね。

で、このセリフの後に結論を書けばおしまい。

それではこの問題の証明をやってみましょう。

（証明）　△APOと△CQOで、

平行四辺形の対頂角は、それぞれの中点で交わるので、AO=CO・・・①

AB//DCから、∠PAO=∠QCO・・・②

対頂角は等しいから、∠AOP＝∠COQ・・・③

①、②、③より、１組の辺とその両端の角が、それぞれ等しいので、△APO≡△CQO

合同な図形では、対応する辺は等しいので、OP=OQ

できるだけ多くの問題に触れて慣れよう

さあ、基本がわかったら、後はたくさんの問題を解いて慣れていきましょう。

やり方としては、

• まず問題を見る
• 頭の中でどう組み立てていけばよいか考える
• 答えを見て理解する
• もう一度問題を見て図にしるしを入れる
• 証明を書く
• 答えを見ながら細かくチェックしていく

これを繰り返してください。

そして、今度は何も見ないで証明が書けるようになるまで手を動かして練習してください。

できるようになったら次の問題にあたります。

一つの問題ができるようになっていないのに次々と問題を増やしていかないこと。

そして、もちろん簡単な問題から解いていきましょう。

それには教科書をつかうのが一番。

隅から隅まで問題を解いてできるようになっておきましょう。

では、証明の克服、頑張ってください！

☆では、今日はこれにて☆